Учебные материалы Шарапова М.П.
Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,
© Шарапов Михаил Петрович, 2022
E-mail: autocad1012@yahoo.com
На подступах к Новому 2023 году
Новогодние задачи
Для самоподготовки по математике к
Новому 2023 году
Задача 1
1! не
делится на 2 нацело.
2! не
делится на 3 нацело.
3! не
делится на 4 нацело.
А, 2022!
делится на 2023 нацело?
Задача 2
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
2023! делится
нацело на 2023.
А, делится
ли нацело 2023! на P(2; 2023)?
Задача 3
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
А, делится
ли нацело 2023! на P(3; 2023)?
Задача 4
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
2023!
делится нацело на 2023.
А, делится
ли нацело 2023! на P(2023; 2023)?
Задача 5
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
Какое
наибольшее число вида: P(n; 2023), где n – натуральное
число, являющееся делителем числа 2023!?
Задача 6
Какое из
чисел больше: 2021 : 2022 или 2022 : 2023?
Решить без использования калькулятора, или каких бы
то ни было программно-аппаратных средств.
Задача 7
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
Какое из
чисел больше: P(2021; 2021) : P(2022; 2022) или P(2022; 2022) : P(2023; 2023)?
Задача 8
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
Какой цифрой
оканчивается число:
(P(P(2023; 2023); P(2023; 2023))) P(P(2023; 2023); P(2023; 2023))?
Задача 9
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
На доске
записали число P(2023; 2023).
Пронумеровали
его цифры, начиная с цифры самого младшего разряда подряд до цифры самого
старшего разряда.
Цифра самого
младшего разряда имеет номер 1.
Считая от
самого младшего разряда, вычеркнули каждую 2023-ю цифру.
Оставшиеся
цифры записали в произвольном порядке, получив новое число.
Делится ли
полученное число на 3?
Задача 10
Какое число
больше: sin 2023 или cos 2023?
Решить без использования калькулятора, или каких бы
то ни было программно-аппаратных средств.
Задача 11
Какое число
больше: 20232023! или (20232023)!?
Задача 12
Какое число
больше: 20232022 или 20222023?
Задача 13
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
На доске
записали число P(2023; 2023).
Перемножили
между собой все цифры этого числа, начиная с цифры самого старшего разряда.
Сколько
получилось?
Задача 14
Обозначим P(n; m) число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа. Например, P(3; 17) = 171717.
Обозначим M(n; m) произведение n-значных чисел, на которые разбита
десятичная запись числа m, n, m – натуральные
числа.
Например, M(2; P(3; 17)) = 17 × 17 × 17.
Делится ли M(3; P(2023; 2023)) на M(2; P(2023; 2023))?
Задача 15
Какое наибольшее
количество квадратов можно составить не более, чем из
2023-х
одинаковых отрезков
прямых?
Задача 16
Какое
наибольшее количество треугольников можно составить не более, чем из
2023-х
одинаковых
отрезков прямых?
Задача 17
Какое наибольшее
количество кубов можно составить не более, чем из
2023-х
одинаковых квадратов,
рассматривая эти квадраты, как грани кубов?
Задача 18
Чему равен
суммарный 2022-мерный объем всех 2022-мерных граней
2023-мерного
Единичного
куба?
Задача 19
На клетчатом
поле размерами 32 × 32 клетки работает робот,
умещающийся в 1 клетку.
Все клетки
одинаковые, квадратные.
Начальное
положение робота – самая левая клетка самого верхнего ряда клеток.
Робот имеет
систему команд:
2023.
Команды:
2 – переместиться на 2 клетки по
горизонтали и остановиться.
Если в
каком-то направлении движение невозможно, переместиться в другом направлении.
Если в
каком-то направлении движение возможно только на 1 клетку, переместиться на
одну клетку, остановиться, изменить направление движения, переместиться на 1
клетку и остановиться.
0 – положить диск на клетку, в которой
робот находится.
Если в
клетке уже лежит диск, положить очередной диск сверху.
Количество
дисков у робота неограниченное.
3 – переместиться на 3 клетки по вертикали
и остановиться.
Если в
каком-то направлении движение невозможно, переместиться в другом направлении.
Если в
каком-то направлении движение возможно только на 1 клетку, переместиться на одну клетку,
остановиться, изменить направление движения, переместиться на 2 клетки и
остановиться.
Если в
каком-то направлении движение возможно только на 2 клетки, переместиться на две клетки,
остановиться, изменить направление движения, переместиться на 1 клетку и
остановиться.
Программа
для робота – число, состоящее из цифр:
0, 2, 3.
Робот читает
число-прогшрамму цифра за цифрой, начиная с цифры самого старшего разряда, без
пропусков, выполняет команду, соответствующую прочитанной цифре.
Затем читает
следующую цифру и выполняет соответствующую команду и т. д.
Когда
прочитана цифра самого младшего разряда, робот выполняет соответствующую
команду, останавливается и заканчивает свою работу.
Напомним,
что с 01.01.2023 г. введена новая функция P(n; m) - число, десятичная запись которого
состоит из n раз
повторенных десятичных записей числа m, n, m – натуральные числа.
Например, P(3; 17) = 171717.
Робот
корректно выполнил программу
P(2023; 2023).
Какое
наибольшее количество дисков будет лежать после выполнения программы в клетке,
в которой лежит наибольшее из всех количеств дисков во всех клетках, количество
дисков?