Учебные материалы Шарапова М.П.
Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,
Новогодние задачи
© Шарапов Михаил Петрович, 2025
E-mail: autocad1012@yahoo.com
На подступах к Новому 2024 году
Для самоподготовки по математике к
Новому 2025 году
Задача 1
Какой цифрой
оканчивается число
20252025?
Задача 2
Каким
двузначным числом оканчивается число
20252025?
Задача 3
Каким
трехзначным числом оканчивается число
20252025?
Задача 4
Выразите
наибольший натуральный делитель числа 20252025, неравный самому
этому числу , используя не более восьми цифр и необходимую математическую
символику.
Задача 5
Периметр
многоугольника равен 2025.
Длина самой
длинной стороны выражается целым числом.
Каким?
Задача 6
В
треугольник, периметр которого равен 20, вписан треугольник, периметр которого
равен 10.
При этом на
каждой стороне внешнего треугольника лежит только одна вершина вписанного
треугольника.
Какова сумма
периметров всех треугольников, принадлежащих полученной фигуре?
Задача 7
В
треугольник, вписан треугольник.
При этом на
каждой стороне внешнего треугольника лежит только одна вершина вписанного
треугольника.
Таким же
образом во вписанный треугольник вписан следующий треугольник.
И так далее
до бесконечности.
При этом
периметр каждого вписанного треугольника в 2 раза меньше периметра того
треугольника, в который он вписан.
Во сколько
раз сумма периметров всех треугольников,
принадлежащих полученной фигуре, больше периметра самого внешнего треугольника?
Задача 8
«Место встречи гномов»
Дан отрезок
прямой длиной 106 км.
Концы
отрезка – точки A и B.
На отрезке
дана точка O, отстоящая от точки A на 25 км.
В точке A находится гном A.
В точке B находится гном B.
Гном A может перемещаться только по отрезку
AO, включая точки
A и O.
Гном B может перемещаться только по отрезку
BO, включая точки
B и O.
Оба гнома
всегда движутся с одной и той же,
постоянной по величине скоростью,
до тех пор, пока не встретятся.
Гнома надо
встретиться, то есть, одновременно оказаться в точке O.
Гномы
движутся так.
Выйдя из
точки A или –
из точки B, они движутся к точке O.
Достигнув
точки O, проверяет, нет ли там другого гнома.
Если его
нет, мгновенно поворачивают и движутся обратно.
Дойдя до
точки A или B, мгновенно поворачивают и снова
движутся к точке O.
И так
движутся, пока не встретятся.
Сколько
километров пройдет каждый гном до встречи?
Задача 9
«Гномы-водолеи»
По тропинке
между двумя ваннами движутся 2025 гномов.
Гномы идут
один за другим.
Каждый несет
ведро с водой.
У первого в
ведре 1 литр воды.
У второго в
ведре 2 литра воды.
У третьего
3.
И так далее.
Количество
литров воды в ведре гнома равно номеру этого гнома.
Первый гном
выливает всю воду из своего ведра в правую ванну.
Второй – в леву.
Третий – в правую.
И так далее.
В какой
ванне и – на сколько будет литров воды больше, чем в другой, когда гномы выльют
всю имеющуюся у них воду?
Задача 10
«Гномы-водолеи 2»
По тропинке
между двумя ваннами движутся 2025 гномов.
Гномы идут
один за другим.
Каждый несет
ведро с водой.
У первого в
ведре 1 литр воды.
У второго в
ведре 2 литра воды.
У третьего
3.
И так далее.
Количество
литров воды в ведре гнома равно номеру этого гнома.
Первый гном
выливает всю воду из своего ведра в правую ванну.
Второй – в
леву.
Третий – в
правую.
И так далее.
Тысяча
двадцать пятый гном ошибся и вылил все свое ведро не туда, куда должен.
Все
остальные лили как надо.
В какой
ванне и – на сколько будет литров воды больше, чем в другой, когда гномы выльют
всю имеющуюся у них воду?
Задача 11
«Гномы-водолеи 3»
По тропинке
между двумя ваннами движутся 2025 гномов.
Гномы идут
один за другим.
Каждый несет
ведро с водой.
У первого в
ведре 1 литр воды.
У второго в
ведре 2 литра воды.
У третьего
3.
И так далее.
Количество
литров воды в ведре гнома равно номеру этого гнома.
Первый гном
выливает всю воду из своего ведра в правую ванну.
Второй – в
леву.
Третий – в
правую.
И так далее.
Тысяча
двадцать пятый гном ошибся и вылил все свое ведро не туда, куда должен.
Все те, кто
следовал за ним, помнили, что каждый из них должен выливать не туда, куда вылил
предыдущий, так и делали.
В результате
все последователи лили воду неправильно.
В какой
ванне и – на сколько будет литров воды больше, чем в другой, когда гномы выльют
всю имеющуюся у них воду?
Задача 12
«Гномы-водолеи 4»
По тропинке
между двумя ваннами движутся 2025 гномов.
Гномы идут
один за другим.
Каждый несет
ведро с водой.
У первого в
ведре 1 литр воды.
У второго в
ведре 2 литра воды.
У третьего
3.
И так далее.
Количество
литров воды в ведре гнома равно номеру этого гнома.
Гномы
решили, что количество воды в ваннах должно быть одинаковым.
Если же это
невозможно, то- хотя бы минимально различным.
Укажите,
каждому гному, в какую ванну он должен вылить свое ведро, чтобы это решение
было выполнено.
PS. Отпивать из ведер строго запрещено!
Задача 13
Из 2025 равных квадратиков стороной 1 см составили
фигуру, имеющую наименьший возможный периметр, из периметров всевозможных
фигур, которые можно составить из всех этих квадратиков.
Чему равен
этот периметр?
Задача 14
Из 2025 равных кубиков с ребром 1 см составили
фигуру, имеющую наименьшую возможную площадь боковой поверхности, из площадей
боковых поверхностей всевозможных фигур, которые можно составить из всех этих
кубиков.
Чему равна
эта площадь?
Задача 15
Из 2025 равных четырехмерных кубиков с ребром 1 см
составили фигуру, имеющую наименьший возможный суммарный трехмерный объем внешних трехмерных граней,
из суммарных трехмерных объемов внешних
трехмерных граней всевозможных фигур, которые можно составить из всех этих
кубов.
Чему равен
этот объем?