Шарапов М.П. Сборник упражнений № 2 для Емилии. Задачи по планиметрии на нахождение площадей пересекающихся фигур

Учебные материалы Шарапова М.П.

Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,

http://www.sharapovmp.ru

Сборник упражнений № 2 для Емилии.

Задачи по планиметрии на нахождение площадей пересекающихся фигур

E-mail: autocad1012@yahoo.com

На подступах к олимпиадам

Для самоподготовки по математике юного математика

Раздел 1

Так говорит Google

«Задачи на нахождение площадей пересекающихся фигур решаются путём разложения общей площади на более простые элементы или вычитания одной площади из другой. Часто используется метод вычитания, когда из площади большей фигуры вычитается площадь меньшей фигуры, не входящей в область пересечения, или метод разбиения фигуры на части.

Основные подходы:

· Вычитание: Площадь пересечения можно найти, вычтя площадь фигуры, которая не входит в пересечение, из общей площади фигуры, содержащей пересечение.

· Разбиение на части: Можно разбить площадь пересечения на более простые фигуры, площади которых легко вычисляются (например, на треугольники, прямоугольники, круги или их части).

· Приближённые методы: В некоторых случаях, например, на клетчатой бумаге, площадь можно приближённо вычислить по формуле, подсчитывая полные и неполные клетки.

Примеры задач:

· Пересечение кругов: Найдите площадь пересечения двух кругов с известными радиусами и расстоянием между их центрами. Для этого можно вычесть площадь "непересекающейся" части каждого круга из общей площади кругов.

· Пересечение квадрата и круга: Найдите площадь фигуры, образованной пересечением квадрата и круга, если известен центр круга и радиус. Используйте метод вычитания: из площади круга вычтите площадь сегментов, лежащих за пределами квадрата.

· Пересечение двух многоугольников: Найдите площадь многоугольника, образованного пересечением двух многоугольников. Примените метод разбиения, разбив общую площадь на более простые фигуры.

Рекомендации:

· Всегда старайтесь нарисовать схему или чертёж, чтобы лучше понять задачу.

· Выбирайте метод решения в зависимости от формы пересекающихся фигур.

· Если есть возможность, сначала попробуйте разложить площадь на простые фигуры, чтобы потом сложить их.

· 1. Площадь геометрических фигур - Математика - ЯКласс

S = a ⋅ b , где a и b — длина и ширина.

ЯКласс

· 2. Приближённое вычисление площадей - Математика - ЯКласс

Теория: Приближённое значение площади фигуры нестандартной формы можно определять по формуле S ≈ a + b 2 , где \(a\) — число полны...»

Раздел 2

Подготовка

Задачи по планиметрии с комментариями и решениями (часть 1)

https://iro86.ru/images/elib/zadachi_po_planimetrii.pdf

Раздел 3

Задачи для самостоятельного решения

3-1

В правильный треугольник вписан круг.

Найдите отношение площади треугольника к площади круга.

3-2

Правильный треугольник вписан в круг.

Найдите отношение площади треугольника к площади круга.

3-3

Дан правильный треугольник ABC, длина стороны которого равна a .

В нем проведены три дуги окружностей с центрами в точках A, B, C, соответственно и радиусом a/2, пересекающие стороны этого треугольника в точках D, E, F, соответственно..

Найти отношение площади образовавшейся внутри этого треугольника фигуры, ограниченной дугами окружностей DE, EF, FD, соответственно, к площади этого треугольника.

3-4

Дан правильный треугольник ABC, длина стороны которого равна a .

В нем проведены три дуги окружностей с центрами в точках A, B, C, соответственно, проходящие через точку пересечения биссектрис этого треугольника т. O, пересекающие стороны этого треугольника в точках D, E, F, G, H, I..

При этом точки D, E лежат на стороне AB, точки F, G – на стороне BC, а точки H, I – на стороне AC.

Найти отношение площади образовавшейся внутри этого треугольника фигуры, ограниченной дугами окружностей DO, EO и отрезком DE, к площади этого треугольника.

3-5

Два круга равных радиусов пересекаются так, что имеют общую хорду, длина которой равна радиусу этих кругов.

Найдите отношение площади обще части этих кругов к площади одного такого круга.

3-6

Дан прямоугольник A, B, C, D, длины сторон которого равны 3 и 5, соответственно.

На диагонали AC, как на диаметре построена полуокружность, центр которой лежит на этой диагонали.

Эта полуокружность касается сторон данного прямоугольника AB, BC в точках E, F, соответственно.

Найти площадь образовавшейся при этом фигуры, ограниченной отрезками EB, BF и дугой полуокружности FE.