Учебные материалы Шарапова М.П.
Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,
Другие новогодние
задачи
2025
http://sharapovmp.ru/education/math/tasks/2025/ny/ny.htm
2024
http://sharapovmp.ru/education/math/tasks/2024/ny/ny2024.htm
2023
http://sharapovmp.ru/education/math/tasks/2023/ny/ne.htm
Новогодние задачи
© Шарапов Михаил Петрович, 2026
E-mail: autocad1012@yahoo.com
На подступах к Новому 2026 году
Для самоподготовки по математике к
Новому 2026 году
1
Найдите:
2
Найдите:
3
Сколько разных прямоугольных
параллелепипедов можно составить из 2026 одинаковых кубиков?
4
Найдите
такую арифметическую прогрессию 
, чтобы последовательность 
была
геометрической прогрессией, все члены которой различны .
5
Последовательность Колвица
строится по следующему алгоритму.
–
любое натуральное число.
Гипотеза Колвица утверждает,
что для любого начального числа будет получен член последовательности, равный
1.
Тогда последовательность
зациклится: 1, 4, 2, 1…
Модифицируйте этот алгоритм.
Используя вместо
коэффициента 3 другое нечетное число, получите для некоторого начального числа,
отличного от 1, цикл, не содержащий 1.
6
Два человека обмениваются
предметами.
Сначала каждый из них имеет
некоторое количество предметов.
Затем, по очереди, начиная с
1-го, они делают следующее.
Человек делит имеющееся у
него количество предметов пополам.
Половину отдает другому.
Половину оставляет себе.
Другой делает то же самое.
Обмен прекращается, когда
очередной участник обмена не сможет поделить свои предметы пополам, потому, что
их количество будет нечетным.
Сколько предметов должно
быть сначала у каждого из них, чтобы каждый совершил ровно 2026 передач
предметов?
7
2026 человек обмениваются
предметами.
Сначала каждый из них имеет
некоторое количество предметов.
Затем, по очереди, начиная с
1-го, они делают следующее.
Человек делит имеющееся у
него количество предметов на 2026.
Каждому из других дает по 1/2026
части имевшихся у него предметов.
Оставляет себе 1/2026 части
имевшихся у него предметов.
Все остальные делает то же
самое.
После 2026-го наступает
очередь 1-го.
Обмен прекращается, когда
очередной участник обмена не сможет поделить количество своих предметов на 2026
без остатка.
Сколько предметов должно
быть сначала у каждого из них, чтобы обмен продолжался бесконечно долго?
8
Докажите,
что для любого натурального числа справедливо следующее утверждение:
Либо
это число делится без остатка на 3, либо при любом разложении этого числа на 3
натуральных слагаемых, либо одно из этих слагаемых будет делиться на 3 без
остатка, либо из двух слагаемых можно составить сумму, которая будет делиться
на 3 без остатка.
9
Записали
подряд последовательные натуральные числа, начиная от 1 , заканчивая 2026.
Получили
первое число: 123…2026,
Некоторые
из цифр этого числа, кроме 1-й, 1013-й и последней поменяли местами с
некоторыми другими цифрами этого же числа, кроме 1-й, 1013-й и последней.
Получили
2-е число.
Докажите,
что модуль разности 1-го и 2-го числа будет делиться на 6 без остатка.
10
Найдите
такую функцию f(x), что для любого x выполняется равенство:
11
Найдите
минимальный возможный диаметр окружности, в которую можно вписать фигуру,
образованную 2026-ю правильными треугольниками со стороной 1 см.
Треугольники
должны быть максимально плотно упакованы
При
этом они не могут перекрываться, но граничные стороны их могут совпадать.
12
Найдите,
какое наибольшее количество квадратов со стороной 1 см можно разместить в круге
радиуса 10 см при следующих условиях:
1.
Квадраты
не должны перекрываться.
2.
Стороны
разных квадратов могут частично или полностью совпадать.
3.
Вершины
квадратов могут лежать на окружности – границе круга.
4.
Вершины
квадратов могут совпадать с вершинами других квадратов.
5.
Вершины
квадратов могут лежать на сторонах других квадратов.